Come facciamo a sapere che tutti gli elettroni sono identici? Parte 2

Nella prima parte ho analizzato il paradosso di Gibbs, un paradosso della meccanica statistica della fine del XIX secolo, la cui risoluzione suggeriva che le particelle dovevano essere identiche e indistinguibili a un certo livello. Questo è stato il primo indizio e alcune persone hanno pensato al problema, ma non era proprio l'ultima parola.

Nella parte 2, completerò la mia spiegazione di come i fisici sanno che tutte le particelle elementari (come l'elettrone) sono identiche approfondendo la meccanica quantistica, un'affascinante area della fisica che è stata scoperta e sviluppata nei primi 3 decenni del 20 ° secolo (1900-1930). Dovrebbe essere del tutto possibile leggere la Parte 2 senza leggere la Parte 1; anche se entrambi hanno a che fare con il motivo per cui le particelle sono identiche, entrambe sono autonome e nessuna delle due dipende dall'altra. La prima parte è sostanzialmente la spiegazione che avrebbe potuto essere compresa intorno al 1900, mentre la seconda è la spiegazione come compresa nel 1930 - dopo che la meccanica quantistica era stata completata.

Nella meccanica statistica classica, è possibile rappresentare le diverse possibilità per lo stato di un sistema in base alle probabilità. Ad esempio, se conosci la temperatura e la pressione di un gas, esiste una distribuzione statistica (chiamata "funzione di densità di probabilità") delle diverse particelle che compongono il gas. Queste particelle rimbalzano casualmente. Ad alta temperatura, è più probabile che una singola molecola del gas si muova rapidamente; a bassa temperatura, è più probabile che una singola molecola del gas si muova lentamente. Ma in entrambi i casi esiste un'intera gamma di possibilità.

Nella meccanica quantistica, lo stesso è vero ma diventa un po 'più complicato. La funzione di densità di probabilità nella meccanica quantistica è data dal quadrato della grandezza di una funzione complessa chiamata "funzione d'onda". Per complesso intendo invece una funzione di numeri reali (x = 1, 2, 3.4, 9.8, ecc.), È una funzione di numeri complessi, ognuno dei quali ha una parte reale e una immaginaria (z = 1 + i, 2 + 3.5i, 4.8 + 9i, ecc.) Se non l'hai mai incontrato prima, sono sicuro che suona davvero strano. Ma non posso dire molto di più che: è così che funziona la meccanica quantistica - è un po 'strano!

Quindi, ad esempio, se la funzione d'onda per un elettrone è 1 / √2 nella posizione x e 1 / √2 nella posizione y, allora quando li quadrate ottieni probabilità: le probabilità che venga trovata nella posizione x è 1/2 e le probabilità che si trovi su y è anche 1/2. Quindi hai uno scatto 50/50 se lo cerchi in entrambe le posizioni.

Finora questo è ancora identico alla meccanica statistica classica. Se lo volessi, potresti anche rappresentare la funzione di densità di probabilità nella fisica classica dalla radice quadrata di se stessa ovunque, e nulla cambierebbe. La differenza è che nella meccanica quantistica la funzione d'onda si comporta meno come un'astrazione mentale e più come un'onda fisica reale, in quanto può mostrare interferenze.

Frange di interferenza scure e chiare

Classicamente, le onde di probabilità non interferiscono l'una con l'altra. La probabilità è sempre un numero positivo, quindi se due diverse particelle di un gas hanno ciascuna una probabilità p per essere trovate nella posizione x, allora la probabilità di trovarne una è solo 2p. Classicamente, la probabilità che si verifichino eventi diversi (o che si verificano risultati di misurazione diversi) si aggiunge sempre a vicenda, non sottrae mai.

Ma nella meccanica quantistica, è la stessa funzione d'onda (piuttosto che il suo quadrato) che agisce come un'onda. E poiché la funzione d'onda in ogni punto può essere qualsiasi numero complesso (compresi i numeri reali positivi o negativi), a volte quando si combinano diverse possibilità le probabilità si aggiungono ma altre volte si sottraggono! Quando si verifica la sottrazione, ad esempio se la probabilità per due diversi eventi si annulla completamente rendendo impossibile che si verifichino entrambi, si parla di interferenza quantistica.

Supponiamo di avere 2 elettroni e che ci siano solo 2 posizioni in cui è possibile trovare ciascun elettrone, posizione x o posizione y. Se i due elettroni fossero distinguibili, allora potremmo etichettarli come "elettrone A" ed "elettrone B" e ciò significherebbe che ci sono 4 possibili stati in cui il sistema a 2 elettroni potrebbe trovarsi. O entrambi A e B sono su x, entrambi sono in y, A è in xe B è in y, oppure B è in xe A è in y. Per riassumere, abbiamo AB = xx, yy, xy o yx. Una notazione comune per rappresentare stati come questo nella meccanica quantistica è usare parentesi angolari: | xx>, | yy>, | xy> e | yx>.

Ma la ricerca scientifica negli anni '20 ha dimostrato un fatto sorprendente: un sistema di 2 elettroni come questo non può trovarsi in 4 stati diversi, c'è solo 1 stato possibile in cui può trovarsi!

Parte del motivo per cui dovresti essere in grado di indovinare: se non c'è modo di distinguere l'elettrone A dall'elettrone B, gli stati | xy> e | yx> sono identici. Sono solo due modi diversi di rappresentare lo stesso stato fisico. Ad ogni modo, vi è 1 elettrone nella posizione x e 1 nella posizione y.

Ma questo ci lascia ancora con 3 stati, non 1 - cosa c'è di sbagliato nell'avere uno stato come | xx> dove entrambi gli elettroni sono nella posizione x, o | yy> dove entrambi sono nella posizione y? Si scopre che più di un elettrone non può mai occupare lo stesso stato. Nel 1925, Wolfgang Pauli propose questo principio - ora noto come principio di esclusione di Pauli - e nel 1940 fu in grado di dimostrare usando la teoria dei campi quantistici che si applica non solo agli elettroni ma a tutte le particelle di un certo tipo (quelli con mezzo intero spin - gli elettroni hanno spin 1/2).

Wolfgang Pauli

Mi prenderebbe troppo lontano dall'argomento per dare una spiegazione completa di ciò che è in questo post (se vuoi saperne di più, sei incoraggiato a leggere la mia spiegazione di spin-1/2 qui su Quora, che hanno appena notificato me è stato inviato via email a oltre 100.000 persone ieri). Ma si scopre che tutte le particelle quantistiche rientrano in 1 di 2 categorie: fermioni o bosoni. I fermioni hanno una rotazione di mezzo numero intero e obbediscono al principio di esclusione di Pauli, mentre i bosoni hanno una rotazione di numero intero e non lo fanno.

I fermioni tendono ad avere più proprietà "simili alla materia". Ad esempio, elettroni, protoni e neutroni sono tutti fermioni spin-1/2. Sono ciò che costituisce i mattoni della materia (atomi, molecole, ecc.) Potresti aver sentito da qualche parte che la materia non può occupare lo stesso spazio allo stesso tempo. Ciò è dovuto in parte al principio di esclusione di Pauli (nonché alla repulsione elettrostatica tra diversi atomi).

I bosoni tendono ad avere più proprietà "simili alle radiazioni". Ad esempio, i fotoni - le particelle responsabili della luce e di altre radiazioni elettromagnetiche (onde radio, microonde, wifi, UV, raggi X, raggi gamma, ecc.) - sono bosoni spin-1. Il bosone di Higgs scoperto a LHC nel 2012 è un bosone spin-0. E la maggior parte dei fisici teorici ritiene che la gravità sia mediata da un bosone spin-2 chiamato gravitone, sebbene ciò non sia stato ancora rilevato in laboratorio.

Il principio di esclusione di Pauli non è solo una regola assiomatica, è una conclusione che può essere derivata dalle nostre migliori teorie fondamentali della fisica. In effetti, richiede sia la teoria della relatività speciale di Einstein combinata con la meccanica quantistica per trarre piena conclusione dal principio di esclusione di Pauli. A causa del modo in cui funziona lo spin, la funzione d'onda di 2 bosoni è sempre forzata ad essere "simmetrica" ​​mentre la funzione d'onda di 2 fermioni è sempre forzata ad essere "antisimmetrica".

In questo contesto, simmetrico significa semplicemente che se si scambiano le posizioni di due bosoni allora non succede nulla - si torna esattamente allo stesso stato. Antisimmetrico significa qualcosa di simile ma non del tutto: se si scambiano le posizioni di due fermioni identici, si torna allo stesso stato ma con un segno meno davanti.

La meccanica quantistica viene eseguita in un tipo di spazio vettoriale chiamato "spazio di Hilbert" dove ogni volta che si hanno 2 stati, c'è un altro stato che può essere formato da essi sommandoli in una "combinazione lineare". Ad esempio, se | xy> e | yx> sono entrambi stati nello spazio di Hilbert, allora | xy> + | yx> è anche uno stato nello stesso spazio di Hilbert. E così è | xy> - | yx> o qualsiasi altra combinazione lineare come 3 | xy> -2 | yx>. Questo modo di combinare gli stati nella meccanica quantistica si chiama "sovrapposizione". Invece di essere sicuramente in una posizione o sicuramente in un'altra, l'elettrone ha qualche possibilità di trovarsi in una posizione e qualche possibilità di trovarsi nell'altra.

Tuttavia, poiché questi stati rappresentano una funzione d'onda quantistica, e ho menzionato in precedenza che il quadrato della grandezza di una funzione d'onda quantistica è una distribuzione di probabilità, gli stati devono essere normalizzati in modo tale che la probabilità totale dell'elettrone trovata ovunque si sommi al 100% (o 1). Pertanto, i coefficienti nelle combinazioni lineari sopra devono essere divisi per un fattore complessivo per normalizzarli.

Combinando questo con il requisito che le funzioni d'onda fermioniche devono essere sempre antisimmetriche, significa che l'unico stato in cui possono trovarsi questi 2 elettroni (supponendo che ci siano solo 2 posizioni possibili per loro) è 1 / √2 | xy> -1 / √2 | yx>. (O la stessa cosa moltiplicata per qualsiasi numero complesso di magnitudo 1, che è fisicamente equivalente.) Se scambiamo xey in questo, otteniamo 1 / √2 | yx> -1 / √2 | xy> che è esattamente -1 volte lo stato originale. Matematicamente questo è uno stato diverso nello spazio di Hilbert, ma fisicamente significa la stessa cosa. Se quadrate i coefficienti 1 / √2, allora vi sta dicendo che c'è una probabilità 1/2 che l'elettrone A sia su x e l'elettrone B sia su y, e una probabilità 1/2 che l'elettrone B sia su x e l'elettrone A è a y. 50/50

Ciò che abbiamo fatto è stato prendere due stati che sono fisicamente indistinguibili - | xy> e | yx>, e ne hanno formato una sovrapposizione che ha questa proprietà antisimmetrica richiesta ai fermioni. Ma che dire degli stati | xx> e | yy>? Questi non possono mai essere resi antisimmetrici, perché scambiare x con x, o y con y non cambia nulla. Poiché sono stati intrinsecamente simmetrici, non possono esistere per i fermioni: si applicano solo ai bosoni.

Come avrai intuito, ciò significa che per i bosoni ci sono 3 possibili stati in cui potrebbero esistere invece di solo 1. Per 2 fotoni che potrebbero trovarsi nella posizione x o nella posizione y, i 3 diversi stati in cui potrebbero trovarsi è | xx> , | yy> o 1 / √2 | xy> + 1 / √2 | yx> - tutti perfettamente simmetrici se si scambiano xey. (Nessun segno meno.)

Per riassumere, una coppia di particelle distinguibili che possono trovarsi in 2 posizioni diverse ha 4 possibili stati in cui potrebbero trovarsi. Considerando che una coppia di fermioni ha solo 1 stato possibile e una coppia di bosoni ha 3 possibili stati. Ciò porta a comportamenti statistici molto diversi per fermioni e bosoni e spiega perché molte delle proprietà dei 2 tipi di particelle sono così diverse.

In un mio precedente post, ho raccontato la storia di come lo studio dell'entropia di Max Planck alla fine del 1800 portò alla scoperta iniziale della meccanica quantistica. Nello stesso periodo, c'era già un grande indizio che esisteva da un po 'di tempo: un noto puzzle riguardante la versione della termodinamica di Maxwell e Boltzmann (che in seguito divenne noto come meccanica statistica). Usando la Legge dell'Equipartizione, la termodinamica classica ha predetto le capacità termiche errate per molti gas a basse temperature.

Una "capacità di calore" è la quantità di calore che qualcosa può assorbire fino a quando la sua temperatura non è stata aumentata di una quantità fissa (di solito, 1 grado Celsius). Alcuni gas sono in grado di assorbire molto calore (energia termica) senza aumentare molto la temperatura. Mentre per altri, l'esposizione a una piccola quantità di calore farà salire il termometro. La teoria alla base di questo, secondo Maxwell e Boltzmann, era che alcuni gas assorbono e immagazzinano l'energia termica meglio di altri perché hanno un maggior numero di gradi interni di libertà - questi "gradi di libertà" servono efficacemente come contenitori all'interno dei quali l'energia può essere immagazzinata. Il Teorema di Equipartizione (proposto da Maxwell e poi dimostrato più in generale da Boltzmann) afferma che in equilibrio, ogni gas (o liquido o solido) avrà un'energia interna totale di 1/2 NkT. Dove N è il numero di gradi di libertà in quel gas, T è la temperatura di quel gas e k è solo la costante di Boltzmann. In altre parole, il gas avrà 1/2 kT di energia termica per grado di libertà.

Ad esempio, se abbiamo un gas di idrogeno monatomico (monatomico significa che ogni molecola è un singolo atomo), ogni atomo ha 3 gradi di libertà perché può muoversi in una delle 3 direzioni: su o giù, sinistra o destra, e indietro e avanti (3 direzioni poiché viviamo in uno spazio tridimensionale). L'energia termica può essere assorbita da un atomo di idrogeno aumentando la sua energia cinetica in una di quelle 3 direzioni indipendenti.

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D'altra parte, se abbiamo un gas di molecole di idrogeno diatomico (diatomico significa che ogni molecola è composta da 2 atomi collegati da un legame chimico) allora ci sono più gradi di libertà (possibili modi in cui ogni molecola del gas può muoversi) . Oltre alla libertà di muoversi linearmente in una delle 3 dimensioni, ha anche la libertà di ruotare lungo uno dei 2 assi diversi.

Sebbene il 75% della materia nell'universo in massa sia idrogeno monatomico, la maggior parte dell'idrogeno sulla Terra è idrogeno diatomico. Questo perché l'idrogeno è solo monatomico alle temperature e alle pressioni estremamente elevate che esistono all'interno delle stelle (come il sole). Sotto la gamma di temperature trovate vicino alla superficie terrestre, l'idrogeno si accoppia naturalmente alla sua fase diatomica. Ma ciò che sembrava strano nel 1800 è che, a seconda della temperatura esatta, l'idrogeno diatomico può avere diverse capacità di calore.

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A temperatura ambiente, l'idrogeno ha una capacità termica per molecola vicina a 5/2 k (o se è per talpa anziché per molecola, questo è scritto come 5/2 R come nel diagramma). Secondo l'opinione di Maxwell e Boltzmann sulla termodinamica, ciò implica 5 gradi di libertà (in realtà 7, se si includono altri 2 gradi di libertà per le vibrazioni). Ma il valore esatto a temperatura ambiente è di circa 2,47k. E quando il gas si raffredda a meno di 0 gradi Celsius (273K), scende gradualmente da 2,47k fino a stabilizzarsi a 1,5k. Ma 3/2 k implicherebbe che ha solo 3 gradi di libertà - in altre parole, che è un gas monatomico! Perché l'idrogeno più freddo diventerebbe un gas monatomico a basse temperature? E cosa significa avere un valore tra 3 e 5 gradi di libertà? La capacità termica doveva essere indipendente dalla temperatura. Ci sono stati problemi simili simili con le capacità di calore misurate di ossigeno e gas azoto.

Ci furono molte spiegazioni proposte per questo enigma nel 1800, ma nessuno comprese la risposta completa fino allo sviluppo della meccanica quantistica. La risposta completa è che i modi in cui i gradi di libertà di rotazione possono essere eccitati nelle molecole sono quantizzati. Classicamente, qualcosa può ruotare a qualsiasi velocità, non importa quanto lentamente, quindi qualsiasi quantità di energia, non importa quanto piccola, potrebbe iniziare a ruotare qualcosa. Ma nella meccanica quantistica, il momento angolare è quantizzato, quindi le rotazioni possono avvenire solo con determinati incrementi discreti. O una molecola inizia a ruotare rapidamente, o per niente - non c'è nessuna via di mezzo. Per questo motivo, a basse temperature la quantità media di energia che viene scambiata tra collisioni casuali di molecole è troppo piccola per eccitare questi gradi di libertà. A basse temperature, il gas idrogeno è ancora diatomico, ma i 3 gradi di libertà traslazionali sono gli unici che possono essere eccitati: non c'è abbastanza energia per avviare la rotazione delle molecole. Una volta che la temperatura supera una certa soglia, le energie tipiche coinvolte nelle collisioni diventano sufficienti per eccitare le rotazioni. Maggiore è la temperatura, maggiore è la probabilità di energie sufficientemente elevate da causare rotazioni; pertanto la capacità termica aumenta gradualmente fino al livello di quello che ci si aspetterebbe da qualcosa composto da molecole con 5 gradi di libertà. Se continui ad aumentare ulteriormente la temperatura, alla fine fa abbastanza caldo da eccitare le vibrazioni (immagina che il legame tra gli atomi sia come una molla, che si estende e si comprime alternativamente), che si è scoperto anche essere quantizzato. A temperature molto calde, i gas diatomici hanno 7 gradi di libertà accessibili, il che è ciò che avresti pensato fosse vero a qualsiasi temperatura in modo classico. La meccanica quantistica fornisce una spiegazione simile per le capacità termiche di ossigeno e azoto.

Nel 1906 Einstein propose che la quantizzazione potesse risolvere questo apparente conflitto tra la Legge di Equipartizione di Maxwell e Boltzmann e le curve misurate sperimentalmente per i calori specifici dei gas diatomici. E la sua ipotesi fu confermata nel 1910 da Nernst quando misurò con maggiore accuratezza i calori specifici di vari gas e scoprì che erano d'accordo con le previsioni teoriche di Einstein. Questo è stato uno dei primissimi test sperimentali della meccanica quantistica primitiva ed è passato!

Ma tornando a particelle identiche, c'è un altro modo in cui una teoria meccanica quantistica dei gas differisce sostanzialmente dalla vecchia teoria classica dei gas del 1800.

Se le singole particelle di un gas fossero distinguibili, quando si raffredda il gas fino allo zero assoluto, tutte andrebbero nello stato fondamentale, qualunque sia il loro stato con l'energia più bassa. Di solito, si potrebbe pensare che lo stato fondamentale sia quello in cui ogni particella è completamente a riposo e non c'è energia cinetica, energia di rotazione o qualsiasi altro tipo di movimento o energia interna.

Ma per un gas di fermioni, la loro indistinguibilità porta al principio di esclusione di Pauli che proibisce a più di una particella identica di andare nello stesso stato. Pertanto, non possono essere tutti allo stato fondamentale. Spesso i livelli di energia che una particella può occupare sono rappresentati da un diagramma a scala, in cui ogni livello di energia è un altro gradino sulla scala. Di solito c'è anche la "degenerazione", in cui più stati hanno esattamente la stessa energia - nel qual caso possono essere rappresentati dallo stesso piolo sulla scala fintanto che teniamo traccia del fatto che c'è degenerazione (più stati) su quello gradino.

Cosa succede quando un gas di fermioni (noto anche come gas di Fermi) si raffredda fino allo zero assoluto è che ogni stato di una data energia viene riempito, iniziando dallo stato fondamentale e salendo sulla scala fino a quando tutte le particelle in il gas è rappresentato e ha un gradino. Ancora una volta, a causa della degenerazione, più particelle possono trovarsi sullo stesso gradino. Ma finché la degenerazione è piccola rispetto al numero totale di particelle, ciò significa che molti pioli verranno riempiti. Una volta riempiti tutti i pioli con particelle, il livello di energia più alto che viene riempito viene chiamato "energia di Fermi".

Nel 1910, lo stesso anno Nernst confermò la teoria quantistica delle capacità termiche per i gas diatomici, gli astronomi scoprirono un nuovo tipo di stella. Nel 1922 sarebbe stato chiamato un "nano bianco", ma già nel 1910 gli astronomi notarono che era diverso dalle stelle ordinarie e aveva alcune proprietà piuttosto strane. La cosa sconcertante di questo tipo di stella era che sembrava troppo denso per la fisica classica per spiegare come era in grado di brillare.

Sirius B (il piccolo punto) è la stella nana bianca più vicina

La massa di una nana bianca è simile a quella della massa del Sole, eppure tutta quella massa è racchiusa in una pallina che in genere ha le stesse dimensioni della Terra. Considerando che il Sole è circa 333.000 volte più massiccio della Terra, ciò significa che è un tipo estremamente denso di materia. All'epoca, era molto più denso di qualsiasi cosa i fisici avessero mai visto o sentito parlare, anche se si supponeva che le stelle stessero bruciando gas di ioni (noto anche come plasmi), non materia solida. Se fosse una specie di solido estremamente denso, allora perché dovrebbe brillare?

Si è scoperto che era davvero un plasma, non un solido. Ma è stato davvero molto denso. Nessuna teoria classica dei gas può spiegare come un gas possa essere così denso e non collassare su se stesso a causa della sua stessa gravità. Nel 1926, RH Fowler spiegò correttamente, usando la matematica della meccanica quantistica, che le nane bianche sono in realtà gas di Fermi piuttosto che gas classici.

In altre parole, una nana bianca è un gas di identici fermioni. In particolare, è un gas di elettroni. Ad alte temperature e basse pressioni, un gas di elettroni non si comporta diversamente da un normale gas classico. Non importa che i singoli elettroni siano identici perché ci sono molti più stati disponibili rispetto agli elettroni. Hanno un grande volume in cui muoversi, e molti tipi diversi di modi in cui possono muoversi poiché la temperatura è abbastanza alta. Ma raffredda abbastanza lo stesso gas o aumenta la pressione in modo che venga impacchettato in un volume abbastanza piccolo, e quindi gli elettroni iniziano a essere schiacciati negli stessi stati. Solo che non possono andare esattamente nello stesso stato a causa del principio di esclusione di Pauli. Quindi riempiono gli stati approssimativamente fino all'energia di Fermi e si fermano.

Se fossero particelle distinguibili, dovrebbero andare tutte nello stesso stato e l'energia sarebbe sostanzialmente zero - nessun movimento nello stato fondamentale. Ma poiché sono fermioni, c'è una "pressione di degenerazione" che impedisce loro di andare nello stesso stato ed evita che tutto collassi a causa della gravità. Le statistiche su come si comportano i fermioni in questa situazione sono note come "statistiche di Fermi-Dirac", che diventano simili alle classiche "statistiche di Maxwell-Boltzmann" nel limite di alte temperature e basse pressioni. Le statistiche in questo contesto si riferiscono a quale sia la probabilità che ciascuna particella abbia una data energia all'equilibrio, in funzione della temperatura. O un altro modo di dirlo: qual è il numero atteso di particelle che saranno trovate ad ogni livello di energia per un sistema dopo che avrà raggiunto l'equilibrio?

Puoi ricavare le statistiche di Maxwell-Boltzmann contando quanti diversi stati unici possono occupare le particelle usando la combinatoria, e quindi scoprire dove questa distribuzione di stati raggiunge un massimo (rappresentando anche la massima entropia, ovvero l'equilibrio). Per le energie più basse, la degenerazione è generalmente più bassa, quindi non ci sono tanti stati. Ma se l'energia di una singola particella è troppo alta, allora riduce la quantità di energia rimasta da distribuire tra le altre particelle con il risultato di un minor numero di combinazioni possibili. Quindi c'è un equilibrio, una condizione di equilibrio, in cui l'intero sistema è alla massima entropia quando gli stati di una data energia sono riempiti con un numero atteso di particelle N_i = K_i / e ^ (E_i-µ) / (kT)). K_i è la degenerazione; rappresenta quanti stati sono a un dato livello di energia E_i. Il fattore di e ^ (- E_i / kT) (dove k è la costante di Boltzmann e T la temperatura) è noto come "fattore di Boltzmann". Il fattore Boltzmann significa che mentre saliamo la scala dei livelli di energia, il numero di particelle che occupano ogni ramo viene esponenzialmente sempre meno (anche se c'è sempre più spazio per loro a causa della degenerazione). Ma la temperatura controlla la velocità con cui questo esponenziale diminuisce. Il simbolo greco µ in e ^ (E_i-µ) / (kT) è chiamato "potenziale chimico" e per il momento non è importante, ma rappresenta quanto l'energia totale di un sistema aumenterebbe se vi si aggiungesse una particella aggiuntiva . (Per molti sistemi, µ è 0 o circa 0, quindi spesso non è nemmeno incluso).

Finché il gas è abbastanza scarso da non doverci preoccupare di due particelle diverse che occupano lo stesso stato (gli N_i previsti in tutti gli stati sono inferiori a 1), la stessa derivazione funziona bene per fermioni o bosoni - non importa, entrambi portano alle stesse statistiche di Maxwell-Boltzmann. Tuttavia, se si considera il caso in cui il gas è molto denso o a una temperatura abbastanza bassa, improvvisamente importa molto se le particelle sono fermioni o bosoni (o nessuno dei due, che non si verifica in natura ma si può immaginare) . Per i fermioni, il numero previsto di particelle che occupano ciascun livello di energia dopo aver contato gli stati e aver trovato il loro massimo è N_i = 1 / (e ^ ((E_i-µ) / (kT)) + 1) - questo è ciò che è noto come Statistiche di Fermi-Dirac. Per le condizioni di alta densità nelle stelle bianche nane o le condizioni di bassa temperatura in altri gas di Fermi, il potenziale chimico µ diventa importante ed è approssimativamente uguale all'energia di Fermi discussa in precedenza (e per la temperatura zero è esattamente la stessa). Si noti che l'unica differenza tra le statistiche di Maxwell-Boltzmann e le statistiche di Fermi-Dirac è il "+1" nella formula di Fermi-Dirac. Una leggera differenza, eppure ha un effetto così grande sul modo in cui la materia si comporta!

E i bosoni? Non obbediscono al principio di esclusione di Pauli, quindi un gas di bosoni non appare diverso da un normale gas classico? No, i bosoni hanno una propria serie di statistiche che seguono conosciuti come "statistiche di Bose-Einstein", che è diversa dalle statistiche di Maxwell-Boltzmann e di Fermi-Dirac.

Anche se non obbediscono al principio di esclusione di Pauli, i bosoni identici sono ancora diversi dalle particelle distinguibili perché la combinatoria è ancora diversa. Ricordi quando stavamo discutendo degli stati quantistici in uno spazio di Hilbert? Per una coppia di bosoni identici ciascuno con solo 2 stati disponibili, abbiamo visto che la coppia ha solo 3 possibili stati in cui possono trovarsi invece dei 4 che ci si aspetterebbe se fossero distinguibili. La generalizzazione di questo è che per un insieme di N bosoni identici con K stati disponibili, ci sono “N scegli K-1” = (N + K-1)! / N! / (K-1)! diversi stati unici in cui potrebbero trovarsi, anziché K ^ N per particelle distinguibili. (Ovviamente, i segni! Sono simboli fattoriali matematici come nella parte 1.) Puoi facilmente verificare che funzioni per il mio esempio originale dove N = K = 2: (2 + 2–1)! / 2! / (2 -1)! = 3! / 2! / 1! = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) / 1 = 6/2 = 3.

Consentendo ad ogni livello di energia di avere un diverso numero di stati degenerati K_i, la formula deve essere estesa a un prodotto di molti fattori ciascuno della forma (N_i + K_i + 1)! / N_i! / (K_i-1)! (stessa cosa sopra, solo con i sottoscritti su di loro per distinguere i diversi livelli di energia E_i). Dopo aver usato il calcolo per trovare il massimo di questa espressione, lo stato di equilibrio risultante può essere identificato come quello in cui ci sono particelle N_i = K_i / (e ^ ((E_i-µ) / (kT)) - 1) in ciascun livello di energia E_i. Questa è la formula per le statistiche di Bose-Einstein. Nota, l'unica differenza tra questa e la formula di Fermi-Dirac è che il +1 ora è un -1! Questo rende tutti e 3 più facili da ricordare. Sebbene di solito per i bosoni, µ è 0 perché possono essere facilmente creati o distrutti - ad esempio, il numero di fotoni non è conservato nel nostro universo, quindi possono apparire e scomparire senza alcun costo quando necessario.

La formula per le statistiche di Einstein-Bose fu scoperta da un fisico indiano di nome Satyendra Nath Bose, un anno o due prima che le statistiche di Fermi-Dirac venissero scoperte e applicate alle nane bianche. La storia di come l'ha scoperto è affascinante. Nel 1924 tenne una conferenza nell'India britannica (all'interno di quella che oggi si chiama Bangladesh) sulla "catastrofe ultravioletta". La catastrofe ultravioletta era il nome dato all'inizio del XX secolo al problema che nessuno sapeva come derivare completamente la formula di Planck per la radiazione di corpo nero dalla meccanica statistica, di cui discuto a lungo in quello che finora è il mio pezzo più popolare su Medium (la storia di come Planck si imbatté nella meccanica quantistica studiando l'entropia).

Planck aveva giustamente sottolineato che la chiave era assumere che l'energia fosse quantizzata in qualche modo, ma non era riuscito a trovare una derivazione perfettamente pulita fin dai primi principi, senza includere alcune ipotesi ad hoc sulle modalità vibrazionali all'interno forni. Bose stava attraversando il processo di dimostrare al pubblico perché, partendo dalla combinatoria di base di stati e livelli di energia, si finisce con la formula sbagliata. Tranne che alla fine, è accaduto uno strano miracolo: ha sorpreso se stesso e tutti finendo in qualche modo accidentalmente alla formula giusta. Ripensò a ciò che aveva fatto e si rese conto di aver fatto un errore - nel contare gli stati li aveva contati nel modo "sbagliato". Aveva accidentalmente trattato i fotoni come se fossero tutti identici e intercambiabili anziché distinguibili come precedentemente ipotizzato. Dopo averci pensato di più, si rese conto che forse stava succedendo qualcosa - forse non era davvero un errore dopo tutto. Non sapeva chi altro dirlo, quindi decise di scrivere una lettera ad Albert Einstein. Einstein fu immediatamente molto eccitato e lo aiutò a pubblicare un articolo su di esso.

Satyendra Nath Bose

Quindi la prima chiave per riprodurre la formula di Planck fu che la luce è quantizzata in singoli pacchetti di energia ora chiamati fotoni. Ma la seconda grande chiave era che questi fotoni non hanno alcuna identità individuale. A parte alcuni con energia e quantità di moto diverse rispetto ad altri, sono tutti identici. Con il senno di poi, ciò ha reso molto più logico il precedente lavoro di Boltzmann e Gibbs sulla meccanica statistica. C'era stato un fattore di N! gettato nelle equazioni per far funzionare correttamente la distribuzione di Maxwell-Boltzmann e per assicurarsi che l'entropia si ridimensionasse correttamente con il volume. Gibbs era consapevole che ciò aveva a che fare con il trattamento delle particelle come se fossero intercambiabili, ma nessuno prestava molta attenzione a ciò o se ne era davvero preso a cuore. Prima di Bose, generalmente tutti presumevano ancora che le particelle fossero distinguibili l'una dall'altra almeno in linea di principio.

L'errore fortuito di Bose in Bangladesh ha permesso a tutto il mondo della fisica di mettere l'unghia nella bara per l'idea che ciascuna delle particelle quantistiche abbia la propria identità. Se così fosse, ci sarebbero stati più stati e avremmo ancora una catastrofe ultravioletta sulle nostre mani: la termodinamica dei fotoni distinguibili non sarebbe mai stata in grado di riprodurre la radiazione del corpo nero che è stata osservata nei forni a corpo nero dalla fine del 1800. Né saremmo in grado di spiegare perché il sole o altre fonti luminose non irradino una quantità infinita di energia.

E questo - i miei amici - è la storia di come siamo arrivati ​​a sapere che tutti gli elettroni sono identici!

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